Problema «L500» (autor: Leonard Giugiuc) din Recreații Matematice nr. 1 / 2026:
$\qquad$Determinați numerele reale $x$, $y$ și $z$ din intervalul $[0,1]$ pentru care $$\begin{array}{l} x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-y^2}=\frac{3}{\sqrt{10}}\\ z\sqrt{1-x^2}+x\sqrt{1-z^2}=\frac{2}{\sqrt{5}} \end{array}\tag{1}$$

ne procură o idee interesantă (dar departe de "trucuri" specifice problemelor "de olimpiadă", cum ar fi înlocuirea variabilelor de mai sus prin sinuși).

Dacă $F(x,y,z)$ este o funcție simetrică față de cele trei variabile, iar $K_i$ sunt anumite constante reale, atunci sistemul (cu ecuații de câte două, nu trei, variabile):

reprezintă curbele rezultate intersectând suprafața de ecuație $F(x,y,z)=0$ respectiv cu planele (perpendiculare pe câte o axă) $z=K_1$, $y=K_2$ și $x=K_3$.
Rezolvarea sistemului revine la a găsi tripletele $(u,v,w)$ pentru care punctele $(u,v)$, $(v,w)$ și $(w,u)$ se află respectiv, pe câte una dintre cele trei curbe:

Cu "Red", "Green" și "Blue" am trasat cele trei curbe (aici, au câte două componente disjuncte) într-un același sistem bidimensional de coordonate, și am identificat punctele, colorate la fel ca și curba pe care se află, $(u,v)$, $(v, w)$ și respectiv $(w,u)$ — însemnând astfel, că punctul $(u,v,w)$ aparține suprafeței $F(x,y,z)=0$ (iar adevărata problemă, ar consta în "identificarea" menționată!).

Punctele care satisfac sistemul (1) se văd (fără "marafeturi"), măcar în parte: pentru $x=0$, din prima și a treia ecuație rezultă $y=1/\sqrt{2}$ și $z=2/\sqrt{5}$, iar un calcul banal arată că aceste valori satisfac și a doua ecuație — deci o primă soluție este punctul $(0,\,1/\sqrt{2},\,2/\sqrt{5})$; pentru $x=1$ găsim la fel, o a doua soluție.
Analog, pentru $y\in\{0,1\}$ și apoi, $z\in\{0,1\}$ — găsind astfel în total, șase dintre soluțiile sistemului (1).

Factorii $x$ și $\sqrt{1-x^2}$ s-ar "întâlni" (egala, unul cu altul) pentru $x^2=1/2$; dar cu $x=1/\sqrt{2}$, din prima ecuație am avea $y=0$ sau $y=1$, adică am regăsi soluții dintre cele de mai sus. Luând însă nu $x$, ci $z=1/\sqrt{2}$ (în a treia ecuație), ajungem la încă două soluții: $\left(x=\{1,3\}/\sqrt{10},\, y=\{1,2\}/\sqrt{5},\,z=1/\sqrt{2}\right)$.

Există și alte soluții, pe lângă cele opt identificate direct mai sus? Putem proceda și foarte elementar, cam așa: ridicând la pătrat $x\sqrt{1-x^2}=1/\sqrt{2}-y\sqrt{1-x^2}$, rezultă o ecuație de gradul doi în $y$, $-y^2+\sqrt{2}\,y\sqrt{1-x^2}+x^2-1/2=0$, cu două soluții reale $y_{1,2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{1-x^2}\pm x)$. Deci pentru fiecare variabilă (și… pentru fiecare valoare din $[0,1]$ a acesteia), găsim câte două valori posibile pentru celelalte două variabile; trecând peste condiționările și potrivirile necesare, ajungem să dovedim astfel că nu avem decât cele 2×2×2=8 soluții menționate…

Demersuri similare și cam aceeași concluzie, avem și dacă în (1) am considera anumite alte valori constante, în membrii din dreapta; fixând un $x$ între 0 și 1, din prima și a treia ecuație găsim $y$ și respectiv $z$ — și probabil că, dacă $x$-ul inițial este între anumite limite, va fi satisfăcută și a doua ecuație…

Ar fi cazul să ne amintim și de o teoremă a lui Bézout, care, adaptată puțin, spune cam așa: numărul de rădăcini reale comune la polinoame de un același număr de variabile reale și fără factori comuni este cel mult egal cu produsul gradelor acestora. În baza acestei teoreme (a cărei demonstrație riguroasă a apărut abia după ce Gauss a demonstrat "teorema fundamentală a algebrei"), dacă $f$, $g$, $h$ sunt polinoame de câte două variabile și fără factori comuni, atunci sistemul $f=g=h=0$ are un număr finit de soluții.
De observat că "fără factori comuni" poate necesita anumite precizări… Dacă avem $f(x,y)$, $g(y,z)$ și $h(z,x)$ atunci "fără factori comuni" ar reveni la a spune că pe curbele asociate polinoamelor respective, reprezentate într-un același sistem bidimensional de coordonate, nu apare vreo componentă comună.

Ridicând la pătrat $z=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$, apoi separând radicalul și urcând încă o dată la pătrat, rezultă că soluțiile $(x,y,z)$ ale sistemului (1) satisfac ecuația polinomială de gradul 6:

Concretizând câte una dintre variabile, obținem trei polinoame de gradul 4, pe variabilele $x,y$ respectiv $y,z$ și $z,x$; de exemplu pentru $z=1/\sqrt{2}$ rezultă curba de ecuație $x^4 + y^4 - x^2 - y^2 +1/4=0$ (trasată în primul panou de mai jos).

Prin programul următor introducem funcția G din (2), constantele din (1) și lista celor 8 puncte $(x,y,z)$ găsite mai sus ca soluții ale sistemului (1) (transcrise în panoul final); montăm într-o listă cele trei funcții rezultate din G prin instanțerea câte uneia dintre variabile; apoi, secționăm fereastra grafică în 4 panouri și folosind pachetul plotlev definit în [1], trasăm pe rând cele trei curbe, pe domeniul $[-1,1]$:

library(plotlev)  # pentru funcția plot_contours(); v. [1]
G <- function(x,y,z)   # polinomul din ecuația (2)
    x^4+y^4+z^4 - 2*(x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2) + 4*x^2*y^2*z^2
# constantele cu care instanțiem câte una dintre variabile
p <- 1/sqrt(2)
q <- 1/sqrt(5)
r <- 1/sqrt(10)
# cele 8 puncte (x,y,z) care satisfac ecuația (2)
V <- list(x = c(0, 1, p, p, q, 2*q, r, 3*r), 
          y = c(p, p, 0, 1, r, 3*r, q, 2*q), 
          z = c(2*q, q, 3*r, r, 1, 0, p, p))
# polinoamele de două variabile rezultate după instanțierea celei de-a treia
FUN <- list(
    F1 = function(x, y)
        G(x, y, p)
    ,
    F2 = function(y, z)
        G(3*r, y, z)
    ,
    F3 = function(z, x)
        G(z, 2*q, x)
)
Lev <- c(p, 3*r, 2*q)  # vom secționa suprafața G cu planele x=p, y=3r și z=2q
# trasăm cele trei curbe în panouri independente
opar <- par(mfrow = c(2, 2), mar = rep(2, 4), bty="n")
X <- Y <- seq(-1, 1, length=1000)
for(i in 1:3) {
    lev <- Lev[i]
    xp <- V[[i]]
    yp <- if(i < 3) V[[i+1]] else V[[1]]
    Z <- outer(X, Y, FUN[[i]])
    H <- contourLines(X, Y, Z, levels = 0)
    plot_contours(H, lwd = 1.5, cex.axis = 0.8)
    points(c(xp,-xp), c(yp,-yp), pch=16, cex=1.2, col=1:8)
    text(xp-0.02, yp+0.01, labels=as.character(1:8), pos=1, offset=0.4)
    grid(col="orange")
}

Obs. Am folosit inițial funcția obișnuită contour(), în loc de plotlev::plot_contours() din [1] — dar (cum-necum…) graficele rezultate așa erau greșite! Nu-i prima dată, când constatăm că algoritmul sofisticat pe care se bazează contour() țintește studiul statistic (primordial în R) al seturilor de date, fiind mai puțin adecvat pentru studiul unor funcții matematice…

Dacă ne-am lua după ce vedem, am zice că fiecare dintre cele trei curbe este compusă din două ovale (elipse?, cu axele respectiv perpendiculare); dar polinoamele corespunzătoare sunt ireductibile, ceea ce am constatat folosind wolframalpha.com…

Punctele de pe cele trei curbe care sunt la fel marcate și etichetate, reprezintă punctele $(x,y,z)$ în care suprafața G intersectează planele $x=\pm p$, $y=\pm 3r$ și $z=\pm 2q$ — în total 16 puncte, dintre care am și etichetat, numai cele 8 puncte care corespund soluțiilor din $[0,1]$ ale sistemului (1) (opusele acestora sunt și ele pe suprafața G, fiindcă G este funcție pară; cele 8 puncte neetichetate, de coordonate negative, sunt soluțiile sistemului (1) în care am schimba semnul constantelor inițiale).
A observa de exemplu, punctul etichetat '1' și marcat cu negru: în primul panou, el are coordonatele $(x=0, y=p=0.7071)$, în al doilea are ca abscisă $y=0.7071$ și ca ordonată $z=2q=0.8944$, iar în al treilea are abscisa $z=0.8944$ și ordonata $x=0$…
Punctele colorate negru dar neetichetate, indică punctul $(0, -p, -2q)$ al lui G, soluție a sistemului (1) dacă în membrul drept am avea opusele constantelor inițiale.

În figura următoare am reprezentat cele trei curbe într-un același panou, etichetând iarăși prin '1':'8' cele 24 de puncte ale lor din care provin cele 8 triplete care soluționează sistemul (1). Se poate observa că aceste 24 de puncte sunt situate câte trei pe câte o aceeași verticală și deasemenea, pe câte o aceeași orizontală:

Am și trasat o verticală și respectiv o orizontală, pe care se află câte un punct din mulțimea {'4', '5', '7'}, pe curbele "Blue", "Green" și "Red". Pentru a justifica alinierea marcată pe figură, să observăm tripletele și coordonatele acestor puncte ('p', 'q', 'r' au fost definite în programul de mai sus):

                    R     G     B
    4: (p,1,r)  (p,1) (1,r)  r,p)
    5: (q,r,1)  (q,r) (r,1) (1,q)
    7: (r,q,p)  (r,p) (q,p) (p,r)

Observăm că 'r' apare în 6 locuri, de trei ori ca abscisă și de trei ori ca ordonată; Aceasta înseamnă (curbele fiind reprezentate acum într-un același sistem de coordonate) că ele se află pe verticala de abscisă 'r' și deasemenea, pe orizontala de ordonată 'r'.
De observat că șase dintre cele 24 de puncte, anume {'1', '4', '7'} și {'2', '3', '8'}, se află pe o aceeași verticală, respectiv pe o aceeași orizontală…

Ar fi interesant de studiat ca de obicei, proprietățile acestor curbe de gradul 4; figura ne arată că fiecare are ca axe de simetrie, bisectoarele sistemului de coordonate; pe fiecare, putem distinge câte două ovale, care cu siguranță nu sunt elipse (fiindcă polinomul asociat nu poate fi scris ca produs de polinoame de gradul doi); ar fi poate, vreo legătură între aceste curbe și curbele Lissajous?

Figura următoare am preluat-o din CalcPlot3D, introducând $z=x^4+y^4-x^2-y^2+1/4$ și adăugând $z=1/\sqrt{3}$ (în loc de $1/\sqrt{2}$ ca pe curba "Red" de mai sus):

Planul caroiat des reprezintă $z=1/\sqrt{3}$; se văd iarăși (… pe cât putem fără suficientă pricepere a graficei "3D"), analog curbei "Red", cele două ovale tăiate de acest plan pe suprafața respectivă (iar rotind figura, folosind facilitățile oferite de applet-ul referit mai sus, putem inspecta în întregime suprafața respectivă și o putem "tăia" cu diverse alte plane). Revenind la Obs. de mai sus, contour() producea numai conturul "patrulater" din mijloc și câte un mic arc, opus câte uneia dintre "laturile" acestuia…