$\boldsymbol{z(t)=at^2+bt+c},\,t\in\mathbb{R}$ unde $a,b,c\boldsymbol{\in\mathbb{C}}$ sunt afixe de puncte necoliniare, $a\ne 0$ şi $\frac{b}{a}\not\in\mathbb{R}$, reprezintă o parabolă nedegenerată; axa acesteia are direcţia $\arg a$, iar tangenta în punctul de afix $c$ are direcţia $\arg b$. Afixul focarului este $\boldsymbol{f=\frac{-\Delta}{4a}}$, unde $\Delta=b^2-4ac$.

Elementele parabolei se exprimă prin $\boldsymbol{f}$ (rezultând anumite proprietăţi ale focarului), prin $\boldsymbol{z'(t)=2at+b}$ şi prin valoarea $\boldsymbol{\delta=\frac{b}{a}-\frac{\overline{b}}{\overline{a}}}\in \boldsymbol{i}\mathbb{R}^*$:

afixul vârfului parabolei este $\boldsymbol{v=f+\frac{a}{16}\,\delta}$ (şi avem $v=\boldsymbol{z(}-\frac{1}{4}(\frac{b}{a}+\frac{\overline{b}}{\overline{a}})\boldsymbol{)}$).

tangenta în vârf are ecuaţia $\boldsymbol{z=f+\frac{1}{8}\,\delta\,z'(t)},\,t\in\mathbb{R}$; aceasta exprimă, pentru fiecare valoare a parametrului $t$, proiecţia focarului pe tangenta la parabolă în punctul $z(t)$ (însemnând că proiecţiile focarului pe tangente sunt situate pe tangenta în vârf).

De la o metodă generală de generare a conicelor dată de Steiner, se deduce o exprimare parametrică a punctelor unui arc de parabolă şi se observă că aceasta reprezintă de fapt, o curbă Bézier pătratică; expresia respectivă este extinsă apoi la o cubică Bézier – creând posibilitatea de a trasa arce de parabolă prin câte o singură instrucţiune, prin operatorul curveto în PostScript, sau "path_join" (..) în MetaPost.

Următoarea frază (îndelung documentată şi "muncită") sintetizează istoria curbelor Bézier:

John Warnock — cu mult timp înainte de a înfiinţa Adobe Systems şi de a şi crea prin 1982, limbajul PostScript — şi Donald Knuth — fondatorul tipografiei digitale, prin sistemul TeX şi limbajul MetaFont, lansate prin 1978 — au avut ideea de a folosi curbele Bézier (cele cubice) pentru a descrie contururile grafice ale caracterelor; curbele Bézier apăruseră prin 1960 – graţie lui Pierre Bézier şi Paul de Casteljau – ca instrument matematic (constituit plecând de la polinoamele Bernstein) pentru descrierea profilelor specifice industriei automobilelor.

Care este (sau, cum determinăm) numărul minim de instrucţiuni curveto (cubice Bézier) pentru a reprezenta o curbă indicată?

curveto din PostScript vizează o anumită cubică Bézier (pentru care trebuie indicate capetele şi punctele de control); în MetaPost calculul punctelor de control este implicit (şi foarte elaborat), cerându-se doar capetele arcului şi eventual, direcţia tangentei (la intrare sau/şi la ieşire) într-un capăt sau altul; el este implicit fiindcă nu se vizează cubica Bézier ca atare (cum face curveto din PostScript), ci totdeauna, un contur format eventual (prin "path_join") din mai multe cubice Bézier înlănţuite ("înlănţuirea" netedă a acestora necesită corelarea tangentelor în capete).

PostScript conturează literele folosind secvenţe de instrucţiuni curveto; în treacăt fie zis - şi noi facem la fel în clasa întâia: desenăm literele cu "bastonaşe" şi arce de legătură (angajând intuitiv şi anumite "puncte de control"). Să vedem şi cum am putea folosi cubice Bézier pentru a contura o curbă sau alta, plecând de la ecuaţiile acesteia; subliniem că nu graficul ca atare, ne interesează (că atunci, l-am obţine fără bătaie de cap folosind R, sau vreun alt pachet de grafică); vrem să vedem cum ajungem la un program care să ne contureze curba respectivă, cât se poate de exact şi cu cât mai puţine instrucţiuni curveto.