Avem față de [1], anumite îndreptări și unele observări asupra curbelor întâlnite acolo.

Mai întâi… pentru a reda în final, suprafața care conține în câte un plan curbele respective, în [1] apelasem ad-hoc (cam într-o doară) la un anumit "applet javascript" — înstrăinând contextul de lucru curent; între timp, descoperim firește că în R am putea folosi pachetul rgl, pentru a produce grafică "3D" interactivă:

FUN <- function(x,y)  x^4 + y^4 - x^2 - y^2 + 1/4
x <- y <- seq(-1, 1, length=50)  # seq(0, 1) pentru a doua figură
z <- outer(x, y, FUN)
id <- rgl::persp3d(x, y, z, color="lightblue", alpha = 0.5)
rgl::planes3d(0, 0, 1/sqrt(2), color="red", alpha = 0.3)
rgl::contourLines3d(id, nlevels=1, color="red", alpha=1, add=TRUE, lwd=3)

Cele două figuri (redate fără valențele de animație specifice pentru "RGL device") reprezintă suprafața de ecuație

pentru $x,y\in[-1,1]$ și respectiv $x,y\in[0,1]$, precum și intersecția acesteia cu planul $z=1/\sqrt{2}$.
În prima figură avem curba pe care în [1] o plotasem direct (ca ecuație implicită de două variabile); a doua figură ne-ar spune că această curbă, o fi formată cum ziceam în [1] din două "ovale" (care seamănă cu două elipse egale, cu axele pe prima și respectiv a doua bisectoare din $xOy$) — dar parcă mai degrabă… ar proveni simetrizând în celelalte cadrane $xOy$, curba "triunghiulară" din primul cadran.

Să observăm că (1) (cu $z=0$) poate fi scrisă echivalent, sub forma:

Deci "curba triunghiulară" apărută se obține ridicând la pătrat coordonatele punctelor cercului $(\mathcal{C\,})$ de centru $(1/2,\,1/2)$ și rază $1/2$ — care în coordonate polare, sunt

încât putem genera $(\mathcal{C\,})$ și $(\mathcal{K\,})$ — de fapt, restricția lui $(\mathcal{K\,})$ la $[0,1]\times[0,1]$ — astfel:

S <- seq(0, 2*pi, length=10000)
ix <- function(s) 1/2 + 1/2*cos(s)  
iy <- function(s) 1/2 + 1/2*sin(s)  
X <- ix(S)  # vectorul absciselor punctelor lui (C)
Y <- iy(S)  # vectorul ordonatelor punctelor lui (C)
plot(0, type="n", xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 1), bty="n", asp=1)
points(X, Y, type="l", lty=2)  # cercul (C) (negru, punctat)
points(X^2, Y^2, type="l", col="blue", lwd=1.2)  # curba (K) (albastru)
# marchează puncte (x,y) pe (C) și asociatele lor pe (K), (x^2,y^2)
P <- seq(0, 2*pi, by = pi/4)
points(ix(P), iy(P), pch=19, col = 1:8)
points(ix(P)^2, iy(P)^2, pch=19, col = 1:8)

Poate fi interesant să "vedem" anumite puncte $(x,\,y)$ de pe $(\mathcal{C\,})$, împreună cu asociatele acestora $(x^2,\,y^2)$ de pe $(\mathcal{K\,})$; instanțiind unghiul polar în funcțiile ix() și iy(), am plotat cele 8 intersecții ale cercului cu axele și cu bisectoarele, și punctele asociate acestora pe $(\mathcal{K\,})$ (colorând și etichetând la fel, punctele asociate unul cu celălalt).

Pentru orice unghi polar $\theta$, punctele $P(\theta)$ și $P'(\theta+\pi)$ sunt capetele unui diametru al cercului $(\mathcal{C\,})$; fie $Q$ și $Q'$ asociatele acestora pe $(\mathcal{K\,})$. De exemplu, punctul '2' de pe $(\mathcal{C\,})$ este $P(\pi/4)$, cu $x=y=1/2+\sqrt{2\,}/4$, iar asociatul pe $(\mathcal{K\,})$ al acestuia (marcat tot cu '2', dar albastru) are drept coordonate pătratele coordonatelor lui $P$, deci este punctul $Q$ pentru care $x=y=3/8+\sqrt{2\,}/4$. Este ușor de calculat direct distanța dintre $Q$ și $Q'$ și rezultă că punctele de pe $(\mathcal{K\,})$ asociate capetelor unui diametru al cercului $(\mathcal{C\,})$ păstrează ca distanță, diametrul cercului (pentru oricare $\theta$, pe care l-am numit mai sus — corect sau poate nu — "unghi polar").
Se deduce ușor că "diametrul" de capete albastre '6' și '2' (aflat pe prima bisectoare) este axă de simetrie pentru $(\mathcal{K\,})$.

Vizual, $(\mathcal{K\,})$ pare a fi tangentă la $(\mathcal{C\,})$ (în punctele negre '7' și '5') — dar nu este, cum putem vedea restrângând secvența S a valorilor $\theta$ la valori din jurul lui $3\pi/2$:

Deducem că în jurul punctului negru '7', $(\mathcal{C\,})$ și $(\mathcal{K\,})$ au două puncte comune, la abscisele $\approx 0.46$ și $\approx 0.56$. Devine clar (măcar vizual) că $(\mathcal{C\,})$ și $(\mathcal{K\,})$ se intersectează în șase puncte, simetrice câte două, față de prima bisectoare.

Cu siguranță, expresiile algebrice ale coordonatelor celor șase puncte de intersecție sunt "nedigerabile"; dar le putem aproxima, folosindu-ne de funcția uniroot() (altfel, iterând între capete și observând schimbarea semnului valorilor funcției).
Constituim întâi o funcție, comm_angle(), care primind ca argument un unghi polar $\theta$, determină coordonatele $(x,y)$ ale punctului $P(\theta)$ al cercului $(\mathcal{C\,})$ și returnează diferența $x^4+y^4 - 2(x^2+y^2) + x+y$ dintre $(\mathcal{K\,})$ (în punctul $(x^2,y^2)$) și $(\mathcal{C\,})$ (în punctul $(x,y)$); când această diferență este zero, punctul $(x^2,y^2)$ aparține și cercului și curbei $(\mathcal{K\,})$ (iar uniroot() va returna (aproximativ) unghiul $\theta$ corespunzător acestei situații).
Este suficient să determinăm intersecțiile din jurul punctelor notate mai sus cu '1' și '5' — celelalte trei intersecții vor rezulta prin simetrie față de prima bisectoare.
Plotând punctele $P(\pi/12)$, $P(2\pi/3)$ și $P(5\pi/6)$, vedem că cele trei intersecții căutate sunt cuprinse respectiv în intervalele menționate mai jos în lista "lstin"; găsim intersecțiile respective aplicând uniroot() (pentru funcția comm_angle()) pe intervalele din "lstin" (cu sublinierea că uniroot() va returna acel 'tt' din intervalul respectiv, pentru care comm_angle(tt) ≈ zero, iar aproximarea depinde de parametrul "tol"):

comm_angle <- function(tt) {
    x <- 1/2 + 1/2*cos(tt)  # ix(tt)
    y <- 1/2 + 1/2*sin(tt)  # iy(tt)
    x^4+y^4 - 2*(x^2+y^2) + x+y  # diferența dintre (K) și (C) în punctul (x,y)
}
lstin <- list(c(0, pi/12), c(2*pi/3, 5*pi/6), c(5*pi/6, pi))
Sol <- sapply(lstin, function(Interval)
           uniroot(comm_angle, interval = Interval, 
                   tol = 1e-10) $root
       )  # [1] 0.2010817 2.6071224 2.7683048

Putem fi siguri că avem măcar 7-8 zecimale exacte (am folosit tol=$10^{-10}$, dar mai intervin erori de aproximare intermediare); am plotat punctele '1', '2' și '3' (precum și simetricele lor față de prima bisectoare) și am notat pe figură, unghiurile polare corespunzătoare celora de pe cerc (având ca pol, centrul cercului și ca axă polară, diametrul orizontal al cercului) — rezultând cum vedem, cele șase intersecții.
Dacă vrem coordonatele carteziene, de exemplu pentru punctul albastru "3" avem: $x=\,$ix(Sol[3])^2=0.001185654 și $y=\,$iy(Sol[3])^2=0.4655871, iar pentru simetricul "3'" al său, față de prima bisectoare: (0.4655871, 0.001185654).

Aspectul șocant față de [1] este faptul că "simetrizând" $\mathcal{K}$ în celelalte cadrane, obținem nu "două ovale", ci un grafic mai ciudat:

Este de lămurit cum se îmbină între ele cele patru loburi; în pofida aparenței vizuale, acestea or fi tangente între ele, dar nu în mai mult de câte un singur punct…

Cum stau lucrurile dacă plecăm de la un alt cerc? De exemplu, pentru pătratele coordonatelor punctelor cercului de centru $(3/4,\,3/4)$ și rază subunitară $\sqrt{2/3}$, avem o curbă similară cu $\mathcal{K}$ de mai sus (iar cele patru loburi apar mai clar și vedem că sunt tangente câte două, în câte un anumit punct); dar forma "lobului" se schimbă (aducând cu o acoladă caligrafică ascuțită, cu buclă la mijloc, completată cu un arc în partea opusă), dacă luăm o rază supraunitară, $\sqrt{4/3}$ (a observa că scările celor două figuri diferă…):

În final să zicem, se cuvine să remarcăm o dilemă… Ecuația $(\mathcal{K})$ echivalează cu $(y^2-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}-(x^2-\frac{1}{2})^2$, iar de aici avem $y=\pm\sqrt{\frac{1}{2}\pm\sqrt{x^2-x^4\,}\,}$ și plotând aceste puncte $(x,y)$ regăsim cele "două ovale" produse deja în [1]. Pentru aceeași ecuație, am avea deci o reprezentare ("două ovale") dacă procedăm "algebric" și o altă reprezentare ("patru loburi"), folosind ca mai sus "coordonatele polare"…
Ce ne-o fi scăpat din vedere? Probabil, gafa comisă ține de acest "ca mai sus": dacă $\theta$ este "unghiul polar" al punctului $(x,y)$, care este unghiul polar al punctului $(x^2, y^2)$? Păi nu este tot $\theta\,$, cum se pare că am considerat din inerție mai sus…
O fi ceva confuzie, dar nu ne străduim să mai lămurim lucrurile, reținând "partea bună" — am evidențiat o familie interesantă (probabil inedită) de curbe de gradul 4 (…dar parcă apar și 6 intersecții cu o dreaptă), plecând de la coordonatele punctelor unui cerc.