În [1]-II, consideram curba

și ziceam — amintindu-ne de ecuația carteziană a unui cerc — că ea se obține ridicând la pătrat coordonatele punctelor cercului $(\mathcal{C})$ de centru $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ și rază $\frac{1}{2}$,
care parametrizate polar sunt:

Dar în final remarcam totuși această contradicție: lucrând algebric — separăm termenul $(y^2-\frac{1}{2})^2$ și explicităm valorile $y$ — obținem un alt grafic (tocmai curba $\mathcal{K}$, de fapt), în loc de cel (parcă mai interesant) rezultat "ridicând la pătrat coordonatele "…

Ideea de a considera pătratele coordonatelor punctelor unui cerc este viabilă și ne-a condus la o curbă interesantă, negăsită în vreo listă "oficială" — dar confundarea acesteia, în [1]-II, cu $(\mathcal{K})$ a fost desigur o gafă… (dar nu una "regretabilă", fiindcă ne-a dus totuși la o anumită "descoperire" valabilă).

Pentru $(\mathcal{K})$, nu de "pătratele coordonatelor" trebuia să fie vorba, ci de radicalii acestora: punctele $(x,y)$ ale curbei $(\mathcal{K})$ se află pe cercul $(X-\frac{1}{2})^2 + (Y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ dacă $x^2\equiv X$ și $y^2\equiv Y$, adică $x=\pm\sqrt{X\,}$ și $y=\pm\sqrt{Y\,}$.

Deci relația dintre cercul $(\mathcal{C})$ și curba $(\mathcal{K})$ se poate descrie astfel: fiecărui punct K al lui $(\mathcal{K})$ îi corespunde un punct C pe $(\mathcal{C})$, astfel încât coordonatele lui C sunt pătratele coordonatelor lui K; iar fiecărui C al lui $(\mathcal{C})$, îi corespund pe $(\mathcal{K})$ patru puncte, formând un dreptunghi cu diagonalele pe bisectoarele sistemului de axe, astfel încât coordonatele vârfului din primul cadran al acestui dreptunghi sunt rădăcinile pătrate ale coordonatelor lui C (am marcat cu roșu porțiunea lui $\mathcal{K}$ aflată în primul cadran și am plotat C pentru $\theta=\pi/6$ și cele 4 puncte K asociate acestuia pe $\mathcal{K}$):

Despre curba $\mathcal{K}$ rezultată, în [1]-I (unde am produs-o în manieră "algebrică") ziceam cam așa: "Dacă ne-am lua după ce vedem, am zice că este compusă din două ovale (elipse?, cu axele respectiv perpendiculare); dar polinomul corespunzător este ireductibil, ceea ce am constatat folosind wolframalpha.com".
Între timp… am constatat că m-am păcălit; în general, pentru inelele de polinoame de mai multe variabile, împărțirea (de unde apoi, factorizarea, cel mai mare divizor comun, ș.a.m.d.) este o operație foarte complicată, fiind bazată pe concepte și vaste cunoștințe teoretice, greu de atins din afară (iar încercarea de a le eluda, apelând superficial la WolframAlpha sau la Sage, nu prea are șanse de reușită).
În lipsa unor cunoștințe mai adânci (despre ideale de polinoame, "Gröbner bases", "Buchberger’s algorithm", etc.), să ne luăm și "după ce vedem" — la urma urmei, polinomul cu care avem aici de-a face este totuși, dintre cele mai simple.

Să credem, până la o probă contrarie, că avem de-a face cu două elipse — de fapt, cu una singură, fiindcă vedem pe figura de mai sus că rotind cu $90^\circ$ "elipsa" pe care apare arcul roșu, am obține cealaltă elipsă. Nu-i greu să calculăm semiaxa mare $\boldsymbol a$ și semiaxa mică $\boldsymbol b$, după care constituim ecuația corespunzătoare și o plotăm — dacă se suprapune peste ovalul din figura de mai sus, atunci într-adevăr avem o elipsă, drept componentă a curbei $\mathcal{K}$ (și iată că polinomul respectiv este reductibil).

Prin programul următor, introducem funcțiile xC() și yC() prin care să calculăm coordonatele carteziene ale punctelor cercului $\mathcal{C}$ (pentru valoarea h=$\theta$ primită ca parametru) și considerăm o divizare H suficient de fină a intervalului $[0, 2\pi]$; plotăm punctat cercul $\mathcal{C}$ și apoi, plotăm "punct cu punct" punctele curbei $\mathcal{K}$ (date de radicalii coordonatelor punctelor lui $\mathcal{C}$):

xC <- function(h) 0.5*(1 + cos(h))
yC <- function(h) 0.5*(1 + sin(h))
H <- seq(0, 2*pi, length=1000)
plot(0, xlim=c(-1.05, 1.05), ylim=c(-1.05, 1.05), type="n", asp=1, bty="n")
points(xC(H), yC(H), type="l", lty=2, lwd=1.1)
for(h in H) {  # "punct cu punct"
    x <- sqrt(xC(h))
    y <- sqrt(yC(h))
    points(c(x,-x), c(y, -y), pch=16, cex=0.4, col="firebrick2")
    points(c(-x,x), c(y, -y), pch=16, cex=0.3)
}

Urmărind "punct cu punct" cum se trasează curba $\mathcal{K}$, ne putem da seama că totuși, cele două "elipse" nu sunt trasate cum am crede dacă am fi trasat "deodată" graficul — întâi prima elipsă (complet) și apoi la fel, pe a doua… De fapt, se trasează întâi porțiunea din primul cadran, însemnând arcul LVR al primei elipse plus arcul LWR al celei de-a doua elipse (apoi se repetă mutatis mutandis pe celelalte cadrane, în care — dar n-am mai trasat — avem câte o "copie" simetrică cercului $\mathcal{C}$ din primul cadran).

Semixa mare $\boldsymbol a$ a elipsei este segmentul OV, unde V este punctul lui $\mathcal{K}$ corespunzător valorii $\theta=\pi/4$ (și rezultă $x_V=y_V=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\,)}\,$); semiaxa mică $\boldsymbol b$ este segmentul OW, luând $\theta=5\pi/4$ pentru W (și rezultă $x_W=y_W=\sqrt{\frac{1}{2}(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\,)}\,$).
Cu $\theta=\pi$ și respectiv, $\theta=3\pi/2$ găsim punctele L și R:

V <- sqrt(xC(pi/4)) + 1i*sqrt(yC(pi/4))
L <- sqrt(xC(pi)) + 1i*sqrt(yC(pi))
R <- sqrt(xC(3*pi/2)) + 1i*sqrt(yC(3*pi/2))
W <- sqrt(xC(5*pi/4)) + 1i*sqrt(yC(5*pi/4))
points(c(V, L, R, W), col="blue", pch=16)
text(c(V, L, R, W), labels = c("V", "L", "R", "W"), 
     pos = c(4, 3, 4, 1), offset=0.4, col="blue", font=2)
a <- abs(V)  # semiaxa mare
b <- abs(W)  # semiaxa mică

În sistemul de coordonate constituit de axele sale, ecuația elipsei ar fi $b^2X^2+a^2Y^2=a^2b^2$; dar în cazul de față, axele elipsei sunt rotite cu unghiul $\varphi=\pi/4$, față de poziția canonică a acestora — caz în care (ținând seama că centrul elipsei este în origine, deci ecuația elipsei nu conține termeni de gradul unu) avem:

Ecuația elipsei are forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+F=0$, unde (v. wikipedia):

Pentru $\varphi=\pi/4$ rezultă ecuația $\boldsymbol{x^2+\sqrt{2\,}xy+y^2-\frac{1}{2}=0}$.
Iar pentru cealaltă elipsă este suficient să ținem seama că "se schimbă" semnul absciselor și rezultă ecuația acesteia, $\boldsymbol{x^2-\sqrt{2\,}xy+y^2-\frac{1}{2}=0}$.

Obs. În loc de raționamentul și calculele de mai sus, puteam totuși observa de la bun început că putem descompune (elementar) polinomul respectiv, astfel:

De!… ne-am cam pierdut în ultimul timp, de "trucurile" elementare (și apropo: Sage de exemplu, nu are în vedere "trucurile", ci numai știința pură…).

Ne-a rămas să plotăm elipsa a cărei ecuație am găsit-o mai sus:

X <- sqrt(2)/2 * (a*cos(H) - b*sin(H))
Y <- sqrt(2)/2 * (a*cos(H) + b*sin(H))
points(X + 1i*Y, pch=16, cex=0.3, col="blue")

și constatăm astfel că ea se suprapune exact peste "ovalul" pe care-l vedeam la început, pe curba $\mathcal{K}$. Am adăugat pe figură axele elipsei și focarele ei, $F_1$ și $F_2$, (ținând seama că $OF_1=c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\sqrt{2}\,}$).

Acum putem spune cu certitudine: curba ale cărei puncte au drept coordonate radicalii coordonatelor punctelor unui cerc de rază $\frac{1}{2}$ care este tangent axelor de coordonate este formată din două elipse cu axele pe bisectoarele întâia și a doua (formularea "cerc tangent axelor", fără a-i preciza centrul, acoperă și cercurile simetrice față de axe cu cercul aflat în primul cadran — pentru care am lua "radicalii valorilor absolute" ale coordonatelor).
De observat că raționamentul etalat mai sus și concluzia lui nu se schimbă, dacă am considera oricare altă rază subunitară, în loc de $\frac{1}{2}$ (s-ar schimba bineînțeles, rezultatele calculelor); dar condiția ca cercul să fie tangent (și nu secant) axelor este esențială; iar pentru rază supraunitară, nu am mai avea elipse…