Parabola $y^2=a(a-x)$ mediază între arcele separate de $\mathsf{O}y$ pe semicardioidă; cele câte două puncte astfel asociate sunt focarele unei elipse tangente în $\mathsf{O}$ axei $\mathsf{O}x$.

Puterile naturale ale unui cerc, faţă de un punct fixat al său (unitatea de măsură şi axa polară fiind date de diametrul prin acest punct), formează o "serie podară" ($\mathcal{C}^{n+1}$ este podara lui $\mathcal{C}^n$), care se comportă ca o spirală închisă, în care buclele cel mai apropiate de origine sunt din ce în ce mai mici, pe măsură ce $n$ creşte (şi practic, ele nu mai pot fi redate grafic, decât eventual prin "diagrame" constituite prin anumite artificii de programare).

Avem două "definiţii" fireşti: puterea $n$ (număr natural nenul) a punctului $\mathsf{P}(\rho,\,\theta)$ (raportat la un sistem de coordonate polare fixat) este punctul $\mathsf{P}^n(\rho^n,\,n\theta)$; puterea $n$ a unei curbe date este locul puterilor $n$ ale punctelor acesteia.

Ce proprietăţi au puterile $n$ ale unui cerc? În raport cu un punct al cercului $\mathcal{C}$ (punct fixat ca pol) şi cu diametrul prin acel punct (diametru fixat ca axă polară), puterile cercului decurg recurent prin construcţia specifică obţinerii podarei unei curbe date (se duc perpendiculare din punctul fixat pe tangentele curbei). Avem două cazuri particulare binecunoscute (pătratul lui $\mathcal{C}$ este o cardioidă; $\mathcal{C}^3$ este o sextică Cayley) şi evidenţiem alte proprietăţi generale.

Cât de mulţumitor (faţă de realitatea matematică) este graficul obţinut printr-un program, într-un limbaj sau altul? Avem de făcut faţă unei situaţii mai rar pomenite: pe graficul lui $\mathcal{C}^n$, punctele din jurul originii nu prea pot fi vizualizate mulţumitor (de exemplu, $\mathcal{C}^9$ are o buclă prin origine cu axa mai mică de 8 sutimi de miime, în timp ce spre dreapta se întinde până la abscisa $2^9$).

Construcţie (cu rigla şi compasul) pentru radicalul şi pătratul unui punct faţă de un reper fixat. Aplicăm această construcţie (condusă printr-un program în MetaPost) pentru a demonstra că pătratul unui cerc faţă de un punct al său este o cardioidă.

Cercurile centrate în origine taie o cardioidă în cel mult două puncte, simetrice faţă de axa cardioidei; rezultă o parametrizare cu radical a semi-cardioidei, permiţând studiul proprietăţilor acesteia şi a familiei de semi-cardioide cu vârful şi axa comune (regăsind prin simetrizare şi diverse proprietăţi cunoscute ale cardioidei). Observăm şi proprietăţi care par a fi inedite (Există o parabolă care "mediază" între arcul din stânga şi cel din dreapta axei verticale (axă care bisectează unghiurile formate de razele polare ale punctelor "mediate"). Pentru cardioidele cu acelaşi vârf şi aceeaşi axă, punctele "cel mai de sus", "cel mai din stânga" şi "cel mai de jos" sunt situate pe două drepte duse prin vârf la 60° şi 120° faţă de axă; tangentele acestor cardioide în punctele de intersecţie cu o aceeaşi dreaptă dusă prin nodul comun, au aceeaşi direcţie).