Avem de îndreptat (mai precis, de îngustat) o afirmaţie anterioară asupra elipselor tangente în $\mathsf{O}$ axei $\mathsf{O}x\,$! Deocamdată, găsim pe calea obişnuită (făcând o rotaţie şi o translaţie asupra elipsei raportate la axele proprii) ecuaţia generală a elipselor care au $\mathsf{O}x$ ca tangentă în $\mathsf{O}$ şi constatăm că într-adevăr, afirmaţia menţionată vizează doar o sub-familie strictă a acestor elipse.

Elipsele cu axa mare de o aceeaşi lungime şi care sunt tangente într-un acelaşi punct $\mathsf{O}$ unei aceleiaşi drepte $d$, au centrele pe două arce de parabolă simetrice faţă de perpendiculara în $\mathsf{O}$ pe $d$ şi au focarele pe două cardioide care au nodul în $\mathsf{O}$, au axa pe $d$ şi sunt simetrice faţă de perpendiculara în $\mathsf{O}$ pe $d$.

elli <- function(x, y, l=0.26) {  # ecuaţia elipsei
    A <- 4*l*(1-l)  # parametrul l ∈ [0,0.5] 
    B <- -4*(2*l-1)^2*sqrt(l*(1-l))
    C <- 16*l^2*(1-l)^2 + (2*l-1)^2
    E <- -16*a*l*(1-l)*sqrt(l*(1-l))  # print(c(A, B, C, E))
    A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + E*y
}

Parabola $y^2=a(a-x)$ mediază între arcele separate de $\mathsf{O}y$ pe semicardioidă; cele câte două puncte astfel asociate sunt focarele unei elipse tangente în $\mathsf{O}$ axei $\mathsf{O}x$.

Puterile naturale ale unui cerc, faţă de un punct fixat al său (unitatea de măsură şi axa polară fiind date de diametrul prin acest punct), formează o "serie podară" ($\mathcal{C}^{n+1}$ este podara lui $\mathcal{C}^n$), care se comportă ca o spirală închisă, în care buclele cel mai apropiate de origine sunt din ce în ce mai mici, pe măsură ce $n$ creşte (şi practic, ele nu mai pot fi redate grafic, decât eventual prin "diagrame" constituite prin anumite artificii de programare).

Avem două "definiţii" fireşti: puterea $n$ (număr natural nenul) a punctului $\mathsf{P}(\rho,\,\theta)$ (raportat la un sistem de coordonate polare fixat) este punctul $\mathsf{P}^n(\rho^n,\,n\theta)$; puterea $n$ a unei curbe date este locul puterilor $n$ ale punctelor acesteia.

Ce proprietăţi au puterile $n$ ale unui cerc? În raport cu un punct al cercului $\mathcal{C}$ (punct fixat ca pol) şi cu diametrul prin acel punct (diametru fixat ca axă polară), puterile cercului decurg recurent prin construcţia specifică obţinerii podarei unei curbe date (se duc perpendiculare din punctul fixat pe tangentele curbei). Avem două cazuri particulare binecunoscute (pătratul lui $\mathcal{C}$ este o cardioidă; $\mathcal{C}^3$ este o sextică Cayley) şi evidenţiem alte proprietăţi generale.

Cât de mulţumitor (faţă de realitatea matematică) este graficul obţinut printr-un program, într-un limbaj sau altul? Avem de făcut faţă unei situaţii mai rar pomenite: pe graficul lui $\mathcal{C}^n$, punctele din jurul originii nu prea pot fi vizualizate mulţumitor (de exemplu, $\mathcal{C}^9$ are o buclă prin origine cu axa mai mică de 8 sutimi de miime, în timp ce spre dreapta se întinde până la abscisa $2^9$).