Cu o anumită parametrizare a axei mici, elipsele tangente în O la Ox au focarele pe două cardioide simetrice faţă de Oy (cu nodul O şi axa Ox) şi centrele pe două arce de parabolă simetrice faţă de Oy.

Avem de îndreptat (mai precis, de îngustat) o afirmaţie anterioară asupra elipselor tangente în $\mathsf{O}$ axei $\mathsf{O}x\,$! Deocamdată, găsim pe calea obişnuită (făcând o rotaţie şi o translaţie asupra elipsei raportate la axele proprii) ecuaţia generală a elipselor care au $\mathsf{O}x$ ca tangentă în $\mathsf{O}$ şi constatăm că într-adevăr, afirmaţia menţionată vizează doar o sub-familie strictă a acestor elipse.

Elipsele cu axa mare de o aceeaşi lungime şi care sunt tangente într-un acelaşi punct $\mathsf{O}$ unei aceleiaşi drepte $d$, au centrele pe două arce de parabolă simetrice faţă de perpendiculara în $\mathsf{O}$ pe $d$ şi au focarele pe două cardioide care au nodul în $\mathsf{O}$, au axa pe $d$ şi sunt simetrice faţă de perpendiculara în $\mathsf{O}$ pe $d$.

elli <- function(x, y, l=0.26) {  # ecuaţia elipsei
    A <- 4*l*(1-l)  # parametrul l ∈ [0,0.5] 
    B <- -4*(2*l-1)^2*sqrt(l*(1-l))
    C <- 16*l^2*(1-l)^2 + (2*l-1)^2
    E <- -16*a*l*(1-l)*sqrt(l*(1-l))  # print(c(A, B, C, E))
    A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + E*y
}

Parabola $y^2=a(a-x)$ mediază între arcele separate de $\mathsf{O}y$ pe semicardioidă; cele câte două puncte astfel asociate sunt focarele unei elipse tangente în $\mathsf{O}$ axei $\mathsf{O}x$.

Puterile naturale ale unui cerc, faţă de un punct fixat al său (unitatea de măsură şi axa polară fiind date de diametrul prin acest punct), formează o "serie podară" ($\mathcal{C}^{n+1}$ este podara lui $\mathcal{C}^n$), care se comportă ca o spirală închisă, în care buclele cel mai apropiate de origine sunt din ce în ce mai mici, pe măsură ce $n$ creşte (şi practic, ele nu mai pot fi redate grafic, decât eventual prin "diagrame" constituite prin anumite artificii de programare).