Fractalii Newton ai rădăcinilor unităţii - partea a treia
outer
(p1, p2) produce matricea m2
în care liniile sunt asociate coeficienţilor p1
, iar coloanele - coeficienţilor p2
; valorile acestei matrici sunt produsele coeficienţilor respectivi, m2[i][j] = p1[i]*p2[j]
. Adunând valorile m2[i][j]
pentru i + j = d =constant
, obţinem coeficientul monomului de gradul d
din produsul celor două polinoame - operaţie montată prin tapply()
: clasează valorile după suma indicilor de linie şi coloană şi apoi aplică sum()
pe fiecare categorie de valori.
Trasăm numeric coeficienţii ecuaţiei N(N(z)) = z şi folosind apoi polyroot()
, găsim punctele 2-periodice ale transformării lui Newton.
Fractalii Newton ai rădăcinilor unităţii - partea a doua
Imaginile rezultate "trunchiază" mulţimea denumită de obicei mulţimea Julia a transformării respective; aceasta este frontiera comună a bazinelor de atracţie ale rădăcinilor polinomului, pe întregul plan (în vecinătatea oricât de mică a oricărui punct al ei există "pre-imagini" ale fiecărei rădăcini - cu interpretarea şocantă că în fiecare punct "se întâlnesc" câte n culori; "pre-imagine" a rădăcinii însemnând aici un punct a cărui orbită converge la o rădăcină a polinomului).
Fractalii Newton ai rădăcinilor unităţii - partea I
A doua imagine (în care am adăugat două puncte roşii, în capetele celei de-a doua diagonale) "măreşte" zona dreptunghiulară ale cărei colţuri au fost bifate (cu roşu) în prima imagine; mărind astfel, începem să intuim că "detaliile imită întregul" (ceea este specific până la urmă - în baza unui aparat matematic dificil - structurilor fractale).
Program R (I) pentru fractalii Newton ai rădăcinilor unităţii
Iniţiem şi prezentăm pas cu pas şi în mod critic - căutând şi marcând diverse aspecte defectuoase, "periind" uneori în raport cu lucrări anterioare - un program "imperfect", ale cărui rezultate lasă de dorit; dar ştim de la bun început ce facem: gândim pe cât putem şi încropim mereu reluarea ulterioară a lucrurilor.
Un program R pentru fractalii Newton ai rădăcinilor unităţii
În [1] am decorat pânza după resturile faţă de un anumit modul ale valorilor unei expresii de coordonate; acum încercăm o altă idee de colorare a punctelor: aplicăm fiecăruia un anumit procedeu de orbitare (metoda lui Newton pentru aproximarea rădăcinilor unui polinom) - care se finalizează într-o anumită mulţime restrânsă de puncte "atractoare" - şi colorăm originea fiecărei orbite după "limita" (şi/sau lungimea) acesteia.
vezi Cărţile mele (de programare)